%% ESAME METODI QUANTITATIVI PER I MERCATI FINANZIARI  04/06/2025

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%%% DURATA: 1 ora e 30 minuti
%%% Il file Matlab (script), formato m oppure mlx,
%%% va salvato con il vostro nome e cognome e va
%%% caricato nella pagina che viene comunicata.
%%% La votazione finale terrà conto della qualità del codice e della
%%% sua chiara presentazione.
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%% MODULO I (15 punti)

% Caricare in memoria il dataset delle città italiane 2024 tramite
% l'istruzione
load citiesItaly2024.mat
% Creare la matrice degli scostamenti standardizzati robusti (sottraendo
% la mediana e dividendo per il MAD normalizzato) in formato table.
% L'output deve essere in formato table e deve essere denominato con le
% prime 3 lettere del proprio cognome (punti 3).
RIA=zscoreFS(citiesItaly2024);

% Mostrare nella Command Window (in formato table) il valore dello
% scostamento standardizzato robusto per la città di Torino della
% variabile Deposit (punti 2)
disp(RIA("Torino","Deposit"))

% Interpretare il numero ottenuto (punti 3)
% Torino presenta un valore dei depositi superiore a quello mediano e
% presenta uno scostamento dal MAD normalizzato di 0.385 volte.

% Mostrare nella Command window il numero di città che presentano un
% valore superiore alla mediana della variabile Deposit.
% Motivare il numero ottenuto (punti 3)
disp(sum(RIA.Deposit>0))
disp('Dato che n è dispari il numero ottenuto è pari a (n-1)/2')
% Ci sono (n-1)/2 città con valore superiore a quello della mediana
% Ci sono (n-1)/2 città con valore inferiore a quello della mediana


% Creare in un'unica finestra grafica il boxplot di tutte le variabili del
% dataset aggiungendo in corrispondenza di ogni boxplot il nome della
% rispettiva variabile ed in corrispondenza degli outliers i nomi delle
% città anomale (punti 4)
boxplot(RIA{:,:},'Labels',RIA.Properties.VariableNames)
add2boxplot(RIA)



%% MODULO II (15 punti)

%% ESERCIZIO 1 (6 punti)

% Si consideri un mercato in cui sono presenti tre titoli con le seguenti
% caratteristiche:
% 1. Vettore dei rendimenti attesi uguale a: mu = [0.14 0.10 0.11];
% 2. Matrice delle varianze-covarianze uguale a:
%    V = diag([0.18 0.19 0.3]).


% Si supponga che il tasso privo di rischio sia dell'1%. Ipotizzando che la
% vendita allo scoperto non sia consentita, si calcolino i pesi del portafoglio
% di tangenza. Infine, utilizzando "solo" il portafoglio di tangenza
% precedentemente calcolato e il titolo privo di rischio, si tracci la
% frontiera efficiente nello spazio rischio-rendimento, ipotizzando che non
% sia possibile indebitarsi al tasso privo di rischio. Si mostri sullo
% stesso grafico della frontiera efficiente anche il portafoglio di tangenza.

%% Soluzione
mu = [0.14 0.10 0.11];
V = diag([0.18 0.19 0.3]);

% calcolo del portafoglio di tangenza
n                  = length(mu);                             % numero dei titoli
options            = optimoptions('fmincon','Display','off');% ulteriori opzioni
rf                 = 1/100;                                  % tasso privo di rischi
sharpe_ratio_opp   = @(x) -(mu*x-rf)/(sqrt(x'*V*x));         % l'opposto dell'indice di Sharpe
[X_tangency, fval] = fmincon(sharpe_ratio_opp, ...           % la funzione da minimizzare
    ones(n,1)/n, ...                         % imposta i valori di ipotesi/partenza
    [], [], ...                              % il vincolo di disuguaglianza
    ones(1,n) , ...                          % termine Aeq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
    1, ...                                   % termine beq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
    zeros(n,1),[],[],options);               % altri vincoli

% calcolo del rendimento atteso e della deviazione standard del portafoglio di tangenza
mu_tangency   = mu*X_tangency;                               % il rendimento atteso
fval_tangency = sqrt(X_tangency'*V*X_tangency);              % la deviazione standard

% la frontiera efficiente richiesta
dev           = linspace(0,fval_tangency, 50);               % la deviazione standard
line_n        = rf+dev*((mu_tangency-rf)/fval_tangency);     % rendimento atteso
figure('Name', 'Frontiera Efficiente', NumberTitle='off');
plot(dev,line_n);
title('Frontiera Efficiente con un titolo non rischioso');   % aggiungi titolo al grafico
xlabel('Rischio (std)');                                     % titolo dell'asse x
ylabel('Rendimento atteso');                                 % titolo dell'asse y
hold on;
scatter(fval_tangency,mu_tangency, 'filled');                % aggiungi il portafoglio di tangenza

%% ESERCIZIO 2 (5 punti)

% Si considerino gli stessi input dell'esercizio precedente. Ipotizzando
% ancora che la vendita allo scoperto non sia consentita e il vincolo:
% x_1 + x_2 >= 0.7, dove x_1 e x_2 sono, rispettivamente, i pesi del titolo
% 1 e 2, si determini utilizzando la funzione "fmincon" il portafoglio
% efficiente con un rendimento atteso in eccesso pari a 0.1. Si registri il
% rendimento atteso di questo portafoglio e il peso del titolo privo di rischio.
% Infine, si mostri questo portafoglio sullo stesso grafico della
% frontiera efficiente disegnata in precedenza.

%% Soluzione
k_rf = 0.1;                                              % il rendimento atteso in eccesso
[X_ob, fval_ob] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ...     % la funzione da minimizzare
    ones(n,1)/n,[-1 -1 0], -0.7, ...         % il vincolo di disuguaglianza
    mu-rf*ones(1,n), ...                     % termine Aeq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
    k_rf, ...                                % termine beq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
    zeros(n,1),[],[],options);               % altri vincoli
sigma_ob = fval_ob;                                      % la deviazione standard corrispondente
X_rf     = 1-sum(X_ob);                                  % il peso del titolo privo di rischio
mu_pn    = k_rf + rf;                                    % il rendimento atteso del portafoglio richiesto
sigma_pn = sqrt(X_ob'*V*X_ob);                           % la deviazione standard del portafoglio richiesto
hold on;                                                 % aggiungi grafici al grafico esistente
scatter(sigma_pn,mu_pn,50, 'k', 'filled');               % visualizza il portafoglio richiesto
% aggiungi legenda al grafico
legend({sprintf('Frontiera Efficiente'), sprintf('Portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a  %4.2f', mu_pn')}, 'Location','northwest');
hold off;

%% ESERCIZIO 3 (4 punti)

% Si determini il peso del titolo privo di rischio in un portafoglio con una
% deviazione standard del 10%. Questo portafoglio è composto da un portafoglio
% efficiente con solo titolo rischiosi, con un rendimento atteso del 18% e
% una deviazione standard del 15%, e dal titolo privo di rischio, con un
% rendimento atteso del 3%. Si calcoli inoltre il rendimento atteso
% del portafoglio.

%% Soluzione
dev_port       = 10/100; % volatilità del portafoglio
dev_port_ris   = 15/100; % volatilità del portafoglio con solo titoli rischiosi
rend_port_ris  = 18/100; % rendimento attteso del portafoglio con solo titoli rischiosi
rf             = 3/100;  % rendimento attteso del titolo privo di rischio
x              = dev_port/dev_port_ris; % peso nel portafoglio con solo titoli rischiosi
display(1-x);                           % peso nel titolo privo di rischio
rend_att       = x*rend_port_ris +(1-x)*rf;
display(rend_att);                      % il rendimento atteso richiesto